حلقه های کوته و حلقه هایی که مدول ها روی آن ها جمع مستقیم مدول های توسیعی است

فرض کنیم ‎r‎ یک حلقه ی شرکت پذیر یکدار باشد. ‎r‎ را کوته ی چپ ‎(راست)‎ گوییم، هرگاه هر ‎-r‎مدول چپ ‎(راست)‎ جمع مستقیم مدول های دوری باشد. همچنین ‎r‎ را کوته گوییم، هرگاه هم کوته ی چپ و هم کوته ی راست باشد. در این پایان نامه ابتدا به بررسی حلقه های کوته ی چپ و حلقه های کوته در حالت تعویض ناپذیر و در حالتی که تمام خودتوان های ‎r‎ مرکزی باشند، پرداخته ایم. ثابت می کنیم که با شرط بالا اگر ‎r‎ حلقه ی کوته ی چپ باشد، آن گاه ‎r‎ یک حلقه ی ایدال اصلی راست آرتینی است. همچنین نتیجه می گیریم که ‎r‎ حلقه ی کوته است اگر و فقط اگر ‎r‎ یک حلقه ی ایدال اصلی آرتینی باشد. در ادامه به بررسی حلقه هایی چون ‎r‎ می پردازیم که هر ‎-r‎مدول راست جمع مستقیم مدول های توسیعی است. ‎r-مدول ‎m‎ را توسیعی گوییم، هرگاه هر زیرمدول ‎m‎ در یک جمعوند مستقیم ‎m‎ اساسی باشد. ثابت می کنیم که چنین حلقه هایی دقیقاً از نوع متناهی نمایش، از نوع هم-موضعی راست، آرتینی دوطرفه و زنجیری راست (نه لزوماً زنجیری چپ) می باشند و هر ‎-r‎مدول راست جمع مستقیمی از مدول های یکنواخت است. حلقه های کوته‎ و حلقه هایی که مدول ها روی آن ها جمع مستقیم مدول های توسیعی است، ارتباط نزدیکی به هم دارند به همین منظور در این پایان نامه به بررسی هر دو نوع حلقه در کنار هم پرداخته شده است.